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Corrélation (statistiques)
En probabilités et en statistiques, étudier la corrélation entre deux ou plusieurs variables aléatoires ou statistiques numériques, c’est étudier l’intensité de la liaison qui peut exister entre ces variables.
Le type le plus simple de liaison est la relation affine. Dans le cas de deux variables numériques, elle se calcule à travers une régression linéaire. La mesure de la corrélation linéaire entre les deux se fait alors par le calcul du coefficient de corrélation linéaire. Ce coefficient est égal au rapport de leur covariance et du produit non nul de leurs écarts types. Le coefficient de corrélation est compris entre -1 et 11.
Le fait que deux variables soit « fortement corrélées » ne démontre pas qu’il y ait une relation de causalité entre l’une et l’autre. Le contre-exemple le plus typique est celui où elles sont en fait liées par une causalité commune
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Histoire
La corrélation est un concept issu de la biologie. C’est par le biais des travaux de Francis Galton que la corrélation devient un concept statistique. Toutefois pour Galton, la notion de corrélation n’est pas définie précisément et il l’assimile dans un premier temps à la droite de régression d’un modèle de régression linéaire2.
C’est ensuite Karl Pearson qui propose en 1896 une formule mathématique pour la notion de corrélation et un estimateur de cette grandeur2.
La corrélation est introduite en économie avec l’ouvrage de Bowley Elements of Statistics en 19023 et l’intervention de George Udny Yule en 1909. Yule introduit notamment la notion de corrélation partielle4,2.
L’usage du coefficient de corrélation a suscité de vives controverses. Par exemple Maurice Fréchet s’y est vivement opposé en montrant les difficultés d’interprétation de ce paramètre5,
Droite de régression
Article détaillé : régression linéaire.
Calculer le coefficient de corrélation entre 2 variables numériques revient à chercher à résumer la liaison qui existe entre les variables à l’aide d’une droite. On parle alors d’un ajustement linéaire.
Comment calculer les caractéristiques de cette droite ? En faisant en sorte que l’erreur que l’on commet en représentant la liaison entre nos variables par une droite soit la plus petite possible. Le critère formel le plus souvent utilisé, mais pas le seul possible, est de minimiser la somme de toutes les erreurs effectivement commises au carré. On parle alors d’ajustement selon la méthode des moindres carrés ordinaires. La droite résultant de cet ajustement s’appelle une droite de régression. Plus la qualité globale de représentation de la liaison entre nos variables par cette droite est bonne, et plus le coefficient de corrélation linéaire associé l’est également. Il existe une équivalence formelle entre les deux concepts
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Précautions à prendre
D’une manière générale, l’étude de la relation entre des variables, quelles qu’elles soient, doit s’accompagner de graphiques descriptifs, exhaustifs ou non dans l’appréhension des données à notre disposition, pour éviter de subir les limites purement techniques des calculs que nous utilisons. Néanmoins, dès qu’il s’agit de s’intéresser à des liaisons entre de nombreuses variables, les représentations graphiques peuvent ne plus être possibles ou être au mieux illisibles. Les calculs, comme ceux évoqués jusqu’à présent et donc limités par définition, nous aident alors à simplifier les interprétations que nous pouvons donner des liens entre nos variables, et c’est bien là leur intérêt principal. Il restera alors à vérifier que les principales hypothèses nécessaires à leur bonne lecture soient validées avant une quelconque interprétation.
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