سؤال متتاليات 2024.

I- نعتبر المتتالية العددية Un المعرفة بـUo=2 ومن أجل كل عدد طبيعي Un+1 = 2Un+1
– برهن بالتراجع أن كل حدود المتتاليةUn موجبة.

اقتباس:

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة walidax46 I- نعتبر المتتالية العددية Un المعرفة بـUo=2 ومن أجل كل عدد طبيعي Un+1 = 2Un+1 – برهن بالتراجع أن كل حدود المتتاليةUn موجبة.

السلام عليكم ورحمة الله تعالى وبركاته
لتكن p(n) الخاصية السابقة
نبين صحتها من أجل n=0
لدينا u0=2 و هي موبجة و منه p(0) صحيحة

نفرض صحتها من أجل n=k أي نقبل أن uk أكبر من صفر
ونبين صحتها من أجل n= k+1
لدينا
uk اكبر من صفر
نضرب الطرفين في 2 لا نغير المتراجحة و تبقى
2uk أكبر من صفر
نضف الواحد الى الطرفين و تصبح 2uk+1 أكبر من 1
بما أنها أكبر من واحد فهي حتما أكبر من صفر
أي أن 2uk +1 اكبر من 0
أي uk+1 أكبر من صفر
أي أن p(k+1) صحيحة

و منه من أجل كل n من N فإن (un) موجبة

بالتوفيق

و السلامــ’’ــ