a1) إذا كان أ- ب = 10 وَ أ2 – ب2 = 20 ؛ فما هي قيمة ب؟
أ) -6
ب) -4
ج) 4
د) 6
الحل : استخدمت التجريب بعد محاولة حلها كمعادلة ، (الجواب الاول خطأ)
التجريب الثاني : بالتعويض عن ب بــ (-4) في المعادلة أ – ب = 10 ==< أ – (-4) = 10 ==< أ + 4 = 10 ==< أ = 6 ثم التعويض عن قيمة أ في المعادلة أ2- ب 2= 20 == < (6)2- (-4)2 = 36 – 16 = 20 :. الإجابة رقم ب هي الإجابة الصحيحة .
وهناك طريقة أخرى وهي التعويض :
من المعادلة الأولى نستطيع أن نحصل على قيمة أ = ب + 10 ، وهذه القيمة (قيمة أ) نعوض بها في المعادلة الثانية فنحصل على:
(ب+10)2 – ب2 = 20
=> ب2 + 2×ب × 10 + 100 – ب2 = 20
=> 20 ب + 100 = 20
=> 20 ب = – 80
=> ب = -4
3) عُمْر أحمد الآن هو ضعف عُمْر سعيد؛ ولكن قبل 6 سنوات كان عمر أحمد خمسة أضعاف عمر سعيد؛ فكم عمر أحمد الآن؟
أ) 10 سنوات
ب) 16 سنة
ج) 20 سنة
د) 24 سنة
تم حل هذا السؤال ضمن الشرح.
………………………………………….. ………………………………………….. ……
4) إذا كان 120% من أ يساوي 80% من ب؛ فأي من التالي يساوي (أ+ب)؟
أ) 1.5 أ
ب) 2أ
ج) 2.5أ
د) 3أ
120% من أ تعني أ و 80% من ب تعني ب ، والمطلوب قيمة أ+ب
من السؤال :
أ = ب ، نستطيع حذف المقام من الطرفين لأنهما متساويان.
=> 120 أ = 80 ب ، ونلاحظ أن جميع الخيارات تحتوي على المعامل (أ) ، وهذا يعني أننا بحاجة لإيجاد ب بدلالة أ
=> ب = أ = أ = 1.5 أ
المطلوب : أ + ب = أ + 1.5 أ = 2.5 أ وهو المطلوب
5) إذا كان 8(2س-4) = 16س ؛ فما هي قيمة س؟
أ) 2
ب) 3
ج) 4
د) 6
الحل: نحاول جعل الأساسات متساوية لأنه عندما تكن الأساسات متساوية :. الأسس متساوية .
8 (2س -4) = 16 س >===< 2 (6س -12) = 2 4س } 2 3 = 8 ، 3 (2س -4 )= (6س -12) ، 2 4 = 16 {
:. 6س -12 = 2س
6س -4س = 12 === > 2س = 12 ==> س = 6
6) إذا كان:
2 4س = 16 ؛ فإن س=
أ) 1
ب) 2
ج) 4
د) 8
هذه المسألة يمكن استنتاج حلها من السؤال السابق أو بدونه أيضا لأنه 2 4 = 16 :. مباشرة س = 1
7) غرست 72 شجرة في صفوف بحيث يكون عدد الأشجار في كل صف مساوياً لضعف عدد الصفوف؛ كم عدد الأشجار في كل صف؟
أ) 6
ب) 8
ج) 9
د) 12
………………………………………….. ………………………………………….. ….
8) أوجد قيمة س : 5س + 20 + 2س = 41
أ) 7
ب) 4
ج) -2
د) 3
9) إذا كان ك عدداً زوجياً ول عدداً فردياً؛ فأي الأعداد التالي زوجية؟
أ) 3ك ل عدد زوجي ( حاصل ضرب عدد فردي بعدد زوجي عدد زوجي )
ب) 3ك + ل عدد فردي ( حاصل جمع عدد زوجي مع عدد فردي عدد فردي )
ج) ك + 3ل عدد فردي
د) 3 (ك + ل) عدد فردي
A.M.A : الحل صحيح ويمكن التوصل إليه من خلال اختيار قيم للعددين ك ول .
مثلاً : ك = 2 ، ل = 3 ، ومن خلال التعويض سيتبين أن 3ك ل هو الاختيار الصحيح.
………………………………………….. ………………………………………….. ……
10) اشترى أحد التجار بضاعة بتسعة آلاف ريال وذلك بعد تخفيض سعرها 25% من قيمتها. ما هي قيمة البضاعة قبل التخفيض؟
أ) 11250
ب) 6750
ج) 12017
د) 9250
نفرض أن قيمة البضاعة = س
س – قيمة التخفيض = 9000
ولكن قيمة التخفيض = 25 بالمئة من س
الآن نعوض س – 25% س = 9000
س – 0.25 س = 9000
0.75 س = 9000
=> س = 12017
11) سقط حلزون في بئر عمقه ثلاثون متراً وأثناء محاولته الخروج كان يصعد أثناء النهار مترين وينزلق أثناء الليل للأسفل بمقار متر واحد. كم سيستغرق هذا الحلزون للوصول لخارج البئر.
أ) 31 يوماً
ب) 29 يوماً
ج) 15 يوماً
د) 30 يوماً
هذا السؤال أقرب ما يكون إلى اللغز، وفكرته بسيطة جداً ، وهي أن الحلزون في اليوم الأخير سيصل إلى أعلى البئر وسيخرج ، وبالتالي لن يسقط متراً كما في باقي الأيام.
وبالتالي سيكون الجواب 29 يوماً .
………………………………………….. ………………………………………….. ……
12) آلة لإنتاج العلب تنتج 150 علبة كل 20 دقيقة , فكم يستغرق إنتاج 60 علبة ؟
أ) 4 ب) 6
جـ) 8 د) 10
150 ÷ 20 = 7.5 لمعرفة عدد العلب المنتجة في الدقيقة .
60÷ 7.5 = 8
الحل صحيح ، ولكن الطريقة التالية أوضح (باستخدام النسبة والتناسب) :
150 علبة —-تحتاح إلى—> 20 دقيقة
60 علبة —-تحتاج إلى—-> س دقيقة (باستخدام المقص)
150 س = 20×60
=> س = 8.
………………………………………….. ………………………………………….. ……
13)باقي قسمة س على 5 هو 4 , وباقي قسمة س على تسعة هو (صفر) ,
ماهي قيمة س ؟
أ) 144 ب) 109
جـ) 59 د) 45
نلاحظ أن حاصل قسمة س على 9 هو عدد صحيح أي بدون باقي :ز يقبل القسمة على 9 .
نرى أي من الأعداد يقبل القسمة على 9 ( 144 – 45 )
نجرب 144 } 144 ÷ 5 = 28 == الباقي =4 ( 28 × 5 =140 ){
الطريقة هي تجريب الخيارات..
14) ثمن كتاب 48 ريالا ً بعد تخفيض 25% من قيمته, فما هي قيمته الأصلية؟
أ) 36 ب) 60
جـ) 64 د ) 72
بنفس طريقة السؤال السابق
ماهي قيمة س في الشكل ؟
أ) 35 ب) 50
جـ) 70 د ) 90
A.M.A:
الزوايا المتقابلة بالرأس متساوية (((( دائماً )))) ، ولكن ما هي الزوايا المتقابلة بالرأس ؟!
هي التي تنتج من تقاطع مستقيمين .
أمثلة :
إذن س + 70 + 60 = 180 (لأن مجموع زوايا المثلث = 180 )
نستنتج أن س = 50
16) سبيكة معدنية تتكون من الحديد والنحاس بنسبة 3: 8 وزنا ً , فإذا كان وزن السبيكة 330 جراما ً ,فكم وزن النحاس فيها بالجرامات ؟
أ) 90 ب) 120
جـ) 160 د ) 240
لنفترض أن السبيكة مكونة من 11 جزءاً فستكون مقسمة على النحو التالي:
3 أجزاء حديد ، و8 أجزاء نحاس .
من جديد نستخدم النسبة والتناسب:
8 أجزاء نحاس –موجودة في –> 11 جزء من السبيكة
س جرام نحاس – موجودة في –> 330 جرام من السبيكة
11 س = 8× 330
=> س = 240 جراما
17) تنتج 4 بقرات عدد 4 علب من الحليب في مدة 4 أيام ,فكم يوم تحتاج 8 بقرات لإنتاج عدد 8 علب من الحليب ؟
أ) 8أيام ب) 16 يوما ً
جـ) 4 أيام د) 2 يوم
لاحظوا أن معدل إنتاج البقرة الواحدة في 4 ايام = علبة واحدة
فإذا كان عندنا 8 بقرات ، فستنتج كل واحدة علبة في الأربعة أيام مما يعني 8 علب خلال 4 أيام.
18 ) ينهي 56 عاملا مشروعا خلال 3 أيام, كم عاملا يستطيعون إنهاء المشروع في يومين ؟
أ) 84 عاملا ً ب) 48 عاملا ً
جـ) 65 عاملا ً د ) 52 عاملا ً
ابدأ باستبعاد الخيارات 48 و 52 ، وذلك لأنه منطقياً من المستحيل أن يكون عدد العمال أقل ، لأننا إذا أردنا إنجاز العمل في وقت أقصر فيجب أن نزيد عدد العمال.
أيضاً نستخدم النسبة والتناسب لحل هذا السؤال، ولكن يجب أن نلاحظ هنا أن التناسب عكسي وليس طردياً (كلما زاد عدد العمال قل عدد الأيام).
56 عاملا ——–> 3 أيام
س عاملاً ——–> 2 يوماً (( هذا خاطئ لأننا نستخدم هذه الطريقة في التناسب الطردي فقط))
للتناسب العكسي :
56 عاملا ——–> 1/3
س عاملا ———> 1/2
=> (1/3) س = 0.50 ×56
=> س = 28×3 = 84
19) إذا كان متوسط الأعداد ( 2 , 8 , 10 , س ) يساوي 6 , فما قيمة س ؟
أ) 2 ب) 4
جـ) 6 د ) 8
المتوسط أو المعدل يحسب من العلاقة:
( مجموع الأعداد ) = 2 + 8+10+س = 6
عدد ها 4
20+س = 6 × 4 == > س = 24 – 20 == > س = 4
20) مثلث يزيد ارتفاعه على قاعدته بسنتمتر واحد, ومساحته تساوي 21 سم,
فما طول قاعدته؟
أ) 7سم ب) 5سم
جـ) 6سم د ) 7 سم
ق : طول القاعدة
الارتفاع = ق + 1
مساحة المثلث = 0.50 × القاعدة × الارتفاع
= 0.50 × ق × (ق+1)
= 0.50 ق2 + 0.50 ق
=> 0.50 ق2 + 0.50 ق = 21 (لتسهيل المعادلة نضرب في 2)
=> ق2 + ق = 42
=> ق2 + ق – 42 = صفر ( حل المعادلة بالقانون العام أو إكمال المربع)
بإكمال المربع نحاول أن نجد عددين مجموعهما = معامل ق ، وفي نفس الوقت حاصل ضربهما = الحد الثابت.
لاحظوا أن -6 و 7 مجموعهما 1 وهو معامل ق ، وحاصل ضربهما -42 وهو الثابت.
=> (ق-6)(ق+7) = صفر
=> إما ق = 6 ، أو ق = -7 وهذا مرفوض لأن الطول لا يمكن أن يكون سالب
=> ق = 6
21) كم تتضاعف مساحة مربع إذا ضاعفنا طول ضلعه ؟
أ)مرتين ب) 4 مرات
جـ) 8 مرات د )16 مرة
إذا كان طول ضلع المربع = س ——-> مساحة المربع = س2
إذا ضاعفنا طول الضلع = 2س ———> مساحة المربع = (2س)2 = 4 س2
وهذه القيمة = 4 أضعاف القيمة الأولى.
22). قرأ أحمد في أحد الكتب من الصفحة 7 إلى الصفحة 49, و من ثم قرأ من الصفحة 101 إلى 157 فما مجموع ما
قرأ؟
أ) 98 صفحة ب) 99 صفحة
ج) 100 صفحة د) 101 صفحة
49 – 7 = 42 157 – 101= 65
42 + 65 = 98
الصحيح هو أن نشمل صفحة البداية ، ولذلك يجب أن نضيف واحد بعد عملية الطرح
=> 49 – 7 + 1 = 43
=> 157 – 101 + 1 = 57 43+57 = 100
كيف تتأكدوا ، جربوا وامسكوا كتاب واحسبوا (صحيح، جربوا!!).
………………………………………….. ………………………………………..
23) .أدى تخفيض سعرمعطف بنسبة 20% إلى توفير 15 ريالا. ماسعر المعطف بعد التخفيض؟
أ)35 ريالا ب) 60 ريالا
ج) 75 ريالا د) 150 ريالا
التخفيض بنسبة 20% أدى إلى توفير 15 ريال
إذا افترضنا أن سعر المعطف الأصلي (قبل التخفيض) = س
=> (20/100 ) س = 15
=> س = 75 ، وهذا هو السعر قبل التخفيض ، والمطلوب هو السعر بعد التخفيض .
السعر بعد التخفيض = 75 – 15 = 60
24). ماهو أصغر عدد موجب عدا 2 و الذي يجعل باقي القسمة يساوي 2 عند قسمته على أي من الأعداد :5,4,3 ؟
أ)22 ب) 42
ج) 62 د) 122
لا يمكن حل السؤال إلا بالتجريب ، ولكن كلمة (أصغر) مهمة جداً في السؤال.
عندما نجرب الخيارات ، سنجد أن العددين 62 و 122 باقي قسمتهما على 3,4، و 5 هي دائما2 ولكن الأصغر هو 62 .
25). إذا كان 7س=3س – 20 , ما قيمة س+7 ؟
أ) صفر ب) 2
ج) 5 د) 12
نوجد حل المعادلة 7س = 3س – 20 ==
7س – 3 س = – 20 == 4س = 20 س = – 5
– 5 + 7 = 2
أسئلة المقارنة
• قارن الصيغتين في العمودين ثم:
o ظلل (أ) إذا كانت قيمة العمود الأول أكبر من الثاني
o ظلل (ب) إذا كانت قيمة العمود الثاني أكبر من الأول
o ظلل (ج) إذا كانت القيمتان متساويتان
o ظلل (د) إذا كانت المعلومات المعطاة غير كافية
26) قارن بين:
6 × 3 + 2 2 + 6 × 3
أ ب ج د
فكرة السؤال هي أننا في حال عدم وجود الأقواس نبدأ دائما بعملية الضرب (قبل الجمع) .
27) قارن بين:
19.75 + 1185.445 + 11.024 33.50 + 1185.445 + 11.024
أ ب ج د
لا داعي للحساب فقط بالتمعن نجد أن العددان الآخران متساويان في الطرفين أي سنحصل على نفس الناتج فإذا أضفنا العدد في العمود الثاني سيكون الناتج اكبر من العمود الأول
28) إذا كانت أ > صفر؛ قارن بين:
أ 2 أ 3
أ ب ج د
في مثل هذه الأسئلة، إذا يجب تجريب جميع الاحتمالات
فلنجرب (1/2) مثلاً ، سيكون في العمود الأول (1/4) ، وفي العمود الثاني (1/8)
و (1/4) > (1/8)
عندما نجرب (1) سيكون العمودان متساويان (1=1) .
وعند تجريب أي عدد (أكبر من 1) سيكون العمود الثاني دائما أكبر.
وعند تضارب الخيارات لا بد أن نختار أن المعلومات غير كافية.
29)
قارن بين
1 +
1 < 2 + 3 ناتج جمع الكسرين اقل من الواحد
5 8
30 )
< صفر
قارن بين
1 س
بما إن الكسر اقل من الصفر :. س عدد سالب لان البسط موجب :.
1 < س
31 )
قارن بين
( )
( )
في الكسور إذا كان المقام اكبر من مقام الأخر كان العدد اقل :.
الربع > الثلث .
فإن المعادلتين غير مستقلتان و ب تقبل ما لانهاية من القيم